E3 - Les merles de THURY-SOUS-CLERMONT (Oise) : La valse à cinq temps ! Tous les renseignements fournis ont un rôle précis. Voyez les deux dernières lignes du texte : La position finale est au moins : 5  5  5  5  5, et on ne peut avoir 6  6  6  6  6 puisque nous n’avons pas 30 merles. Le petit tableau qui suit résume bien la situation. Seule la quatrième ligne mérite une légère réflexion

E5 - Les cordes de Julie de COUFFY-SUR-SARSONNE (Corrèze) : Julie choisit un point et trace les 8 cordes dont il est une extrémité. Elle choisit un nouveau point et trace 7 nouvelles cordes Elle choisit un nouveau point et trace 6 nouvelles cordes Elle choisit un nouveau point et trace 5 nouvelles cordes ...
Elle a donc tracé 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 c’est à dire 36 cordes. Les grecs de l’antiquité appelaient un tel nombre, nombre triangulaire. Mais, Julie a remarqué que de chacun des 9 points partent 9 gerbes de 8 cordes, mais cette fois-ci, elles sont toutes comptées 2 fois. Nous avons bien (9 x 8) : 2 = 36 (cordes).
Vous avez remarqué que la longue addition a été remplacée par 2 simples calculs.       

Et si je me suis attardé dans ce corrigé c’est que les nombres triangulaires interviennent souvent dans de nombreux textes, par exemple dans le E13 ou C10. De fait, vous les utilisez à chaque fois que vous recherchez combien de paires il y a dans un certain ensemble d’éléments (une corde, c’est bien aussi une paire de points sur le cercle !). Un nombre triangulaire est aussi la moitié du produit de deux nombres consécutifs.

E6 - Le « maxi-mini » audomarois (Pas-de-Calais) : Nous avons au moins 11 joueurs. Tous jouent au football ; parmi eux, 6 pratiquent le volley-ball et nous avons aussi 5 joueurs de basket parmi ces footballeurs. Bien entendu le cas limite, c’est celui où chacun ne pratique qu’un sport, et nous avons alors 11 + 6 + 5 = 22 (joueurs). Et si vous ne connaissez pas la splendide ville de Saint-Omer, courez-y vite et je suis assuré que vous y retournerez !

E8 - Valérie et Romain de COURDIMANCHE/ESSONNE (Essonne) : Ce texte est extrêmement riche en informations. Vous pouvez opérer au hasard ou systématiquement par des essais successifs. Mais êtes-vous d’accord avec moi ?
La déclaration de Romain: Elle veut bien dire que le total de ces livres est un multiple de 3 (3 fois  la part de Valérie après son don).
Après ce don de Valérie, Romain a un nombre pair de livres. Initialement Romain avait donc un nombre impair de livres.
La déclaration de Valérie : Valérie a moins de livres queRomain, et la différence du nombre de livres est 2 ; Valérie avait aussi un nombre impair de livres. La somme des nombres des livres de Romain et de Valérie est donc un nombre pair.
Le nombre total de livres est un multiple de 2 et un multiple de 3, donc un multiple de 6 . Proposons quelques essais :

1. Total : 6 ; Romain : 4 ; Valérie 2. Ceci ne peut convenir.
2. Total : 12 ; Romain : 7 ; Valérie 5.

Eh bien, voilà ! Lorsque vous serez au collège, vous saurez aisément démontrer que cette solution est unique.

E9 - Chez un habitant de BOUZY-LA-FORET (Loiret) :

0,5 mm x 100 000 = 50 000 mm soit 50 m

E11- Les cases du gymnase de CALVINET ( Cantal) : Le plus simple est de compter le nombre de rectangles d’aire 1, puis 2, puis , etc

Total :     30
Le rectangle initial étant petit, vous n’avez pas eu de mal à compter tous ces rectangles. Mais si le rectangle avait été beaucoup plus grand ... ? Si vous voulez que l’on vous développe une méthode bien simple pour y parvenir facilement, écrivez-nous et nous vous répondrons sur notre site (dans notre forum) ou bien réfléchissez. un peu sur les fameux nombres triangulaires. 30 est bien le produit de 2 tels nombres (3 et 10).

E12 - Dans un centre de vacances de COTTENCHY (Somme) : Pour chacun des nombres 1, 2, 3, ... qui sont les mesures des côtés des carrés, calculons son carré.

Et recherchez maintenant un triplet de nombres consécutifs dans cette deuxième ligne qui puisse convenir. C’est 9 + 16 = 25 ; 3, 4, 5 est le seul triplet de nombres consécutifs dont la somme des carrés des deux premiers égale le carré du troisième. Vous saurez dans quelques années que ce triplet de nombres entiers consécutifs est le seul qui mesure les côtés d’un triangle rectangle.

E15 - La jolie ménagerie de Julie de VILLETANEUSE (Seine-Saint-Denis) : Un élève de collège pourrait appeler « C » le nombre de chats et « T » le nombre de tourterelles. Il lui suffirait alors d’écrire 2 simples équations dont la résolution est quasi-immédiate. C’est bien ce qu’ont fait nos élèves de collèges. Pour nos élèves des écoles, une autre méthode était bien simple ; il n’y a que 7 animaux et il n’est pas difficile d’envisager toutes les possibilités. Voyez ce tableau. J’appelle « C » le nombre de chats, « T » le nombre de tourterelles, « P » le nombre de pattes, et « TE» le nombre de têtes :

Le nombre d’animaux ce cette ménagerie était très limité. Heureusement que nous n’en  n’avions point quelques milliers. Le tableau de nombre eut été gigantesque. Reprenons notre exemple, et nous vous proposons une méthode strictement déductive. Si nous avions eu 7 chats, nous aurions eu 28 pattes. D’où un excès de 6 pattes !, ce qui convient parfaitement à 3 tourterelles. Remplaçons 3 chats par 3 tourterelles. Nous avons donc 4 x 4 = 16 (pattes), mais aussi 3 x 2 = 6 (pattes). Etes-vous d’accord ! Nous avons donc 4 chats et 3 tourterelles.

C1 - L’écureuil de CRESPIN (Tarn): A l’évidence il faut tenir compte des 3 conditions à la fois.

• S’il n’y avait eu que la première condition, 3 noisettes était la réponse.
• S’il n’y avait eu que la seconde condition, 4 noisettes était la réponse.
• S’il n’y avait eu que la troisième condition, 5 noisettes était la réponse.

Il n’est pas très difficile de découvrir pourquoi !

Pour les trois conditions à la fois, 13 (c’est à dire 12+1) suffisent. Pourquoi ce « 12 » ? Parce que c’est un multiple commun de 2, 3 et 4 ; et que c’est même le plus petit multiple commun de ces 3 nombres.

13

C2 - Le saute-cailloux de NOORDPEENE (Nord): Il est immédiat de constater que dans chaque déplacement notre saute-cailloux fait un pas de plus vers l’amont que vers l’aval ; après chaque déplacement, il est donc un cailloux plus loin vers l’amont. Après le millième déplacement, il est mille cailloux plus en amont par rapport au cailloux initial. La réponse est donc bien 1000 amont.

1000
Amont

C3 - Jean-Pierre et Corinne à la grande réderie d’AMIENS (Somme): Considérons une durée correspondant à une demi-journée, soit 12 heures. - L’aiguille des heures a parcouru 1 tour de cadran. - L’aiguille des secondes fait 1 tour par minute ; 60 tours par heure, donc 60 x 12 = 720 tours par demi-jour. Elle tourne donc 720 fois plus vite que l’aiguille des heures.

720

C4 - Dans un poulailler de MONTAURIOL (Tarn): Cet exercice peut sembler étonnant au moins pour deux raisons. - des œufs qui peuvent être de trois couleurs différentes ! - et surtout des moitiés d’œufs ! Vous êtes pourtant bien habitués à l’utilisation de nombres à virgule lorsque l’on fait des statistiques. Voici un exemple : Dans une classe, le professeur demande pour chaque élève de noter le nombre d’enfants qu’a eu leur maman . Le total est de 45 enfants, et il y a 20 élèves. Cette affirmation ne vous gène pas ! eh bien je dis exactement la même chose si je dis qu’en moyenne, une maman a 2,25 enfants. Et ouvrez donc un journal ou regardez la télévision ; essayez de comprendre les pourcentages ... Ce qui est important ici, c’est de comprendre que la population du poulailler augmente (j’ai 6 fois plus de poules, ce qui devrait me conduire pour une même période à 6 fois plus d’œufs). Mais elles pondent aussi pendant 30 jours soit 4 fois plus longtemps que pour  la période initiale ; je devrais m’attendre, si la population n’avait pas évolué, à avoir 4 fois plus d’œufs. Etudions une seule évolution à la fois :

Vous avez remarqué que seul le nombre de poules et des œufs pondus, a varié (il a été multiplié par 6) et occupons nous maintenant de la variation du temps (vous avez compris pourquoi le 14 juillet n’est pas compté, c’est que parce que 30 vaut 4 fois 7,5 !).

Les 3 nombres soulignés vous donnent les bonnes réponses.

36
60
84

49

Samedi

C7 - Une secrétaire de TARDES (Creuse) : Vous remarquez bien sûr que Laurence a frappé 2 001 nombres, et que chacun étant suivi d’un blanc séparateur (remplacé pour le dernier nombre par un point ; attention aussi à la taille du nombre ; pour les nombres de 4 chiffres, le blanc séparateur n’existe pas), lui-même suivi d’une virgule.. - chaque nombre de 1 chiffre réclame 3 frappes de clavier, - chaque nombre de 2 chiffres réclame 4 frappes de clavier, - chaque nombre de 3 chiffres réclame 5 frappes de clavier, - chaque nombre de 4 chiffres réclame 6 frappes de clavier,

Soit10 895 frappes sur le clavier.

10 895

7

C9 - Sur la route de l’école de LA FALOISE (Somme) : Vous avez trouvé que le frère et la sœur ont pour prénom Romain et Marion. Et cette paire de prénoms, qui sont des anagrammes, est la seule à notre connaissance et pour la langue française, sans oublier qu’il s’agit d’enfants de sexe différent, qui a cette particularité. Quel travail de Romain (sic) pour ce bambin de compter sur ses doigts jusque 2000 ! Heureusement, vous êtes plus âgé(e) et vous savez faire une division. Observez en effet ce tableau.    

Index

Romain

Marion

36

4
9

C12 - Le panier percé d'ORVEAU-BELLESAUVE (Loiret) : Madame Dépensetout ! Elle habite le Loiret, magnifique département. Le problème peut se prendre de deux façons - Appelons x la somme initiale en entrant dans le 1^er magasin, calculons ce qu’il lui reste en sortant et ce nombre sera bien la somme qu’elle a en entrant dans le second magasin. Répétons ces calculs pour chaque magasin jusqu’au dernier et nous aurons alors une équation du 1^er degré en x qui admet  une solution unique. Mais nous pouvons aussi commencer le problème « à l’envers », c’est à dire considérer ce qui s ‘est passé dans le dernier magasin, puis l’avant dernier, puis le troisième, puis... Observez bien ce tableau construit depuis la dernière  ligne :

Pas si simple ce C12 !                                                                                                         

726

7
360

3
4
5
6