T57 - Nombres figurés (1).

Tous les nombres dont nous parlerons dans cet article sont des nombres naturels. Vous les connaissez bien, mais vous découvrirez d'intéressantes choses au cours de cette lecture. Voici ces naturels avec leur rang d'énumération ... dit ordre naturel.

Tableau 1
rang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
...
n
nat.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
n-1

Les nombres TRIANGULAIRES.

Ces nombres s'écrivent simplement sous la forme 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, ... (vous les connaissez certainement si vous faîtes nos concours. Par exemple, on trace 6 , 10 ou 1000 points sur un cercle . Combien pouvez-vous joindre de cordes joignant deux de ces points ?)

O
O
O
O
O
O
Figure 1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
x

Il est aisé de créer un deuxième tableau de nombres

Tableau 2
rang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
...
n
nat.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
n-1
tri.
0
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
...
?

Bien entendu pour compléter ce tableau, il vous faudrait connaître le « nième nombre triangulaire ». Ce n'est pas bien difficile. Observez bien la figure 2 où nous avons empilé tête-bêche deux fois le même nombre triangulaire.

Figure 2
X
X
X
O
X
X
O
O
X
O
O
O
Figure 2
X
X
X
X
X
X
X
O
X
X
O
O
X
O
O
O
O
O
O
O
1 + 2 + 3 = (3 × 4 ) : 2 = 6
 

1 + 2 + 3 + 4 = (4 × 5 ) : 2 = 10

Le nième nombre triangulaire 1 + 2 + 3 +... + n est ( n × (n + 1)) /2.

Remarque: cette formule peut se lire de deux façons différentes:

  • un nombre est triangulaire si (et seulement si ) il est la moitié du produit de deux nombres consécutifs.
  • Un nombre est triangulaire si son double est le produit de deux nombres consécutifs.

Parmi ces nombres, un seul n'est pas triangulaire. Lequel ?

10 15 20 55

NOMBRES CARRES.

Complétons le tableau 2 par une nouvelle ligne, celle des carrés des nombres naturels.

Tableau 3
rang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
...
n
nat.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
n-1
tris
0
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
...
?
carrés
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
...
n²

Et maintenant, observez bien les deux dernières lignes de ce tableau.Tout carré (sauf 0) est la somme de deux triangulaires consécutifs, celui de même rang et celui qui le précède.

Et ceci se montre aisément.

O
X
X
X
O
O
X
X
O
O
O
X
O
O
O
O
Figure 3
X
O
O
X
X
O
X
X
X
1 + 2 + 3 + 4 +
3 + 2 + 1 =    
4 x 4          
 
1 + 2 + 3 +
2 + 1 + 1 =
3 x 3      

En appelant T n et T n + 1 deux triangulaires consécutifs T n + T n + 1 = n 2