T67 - Corrigés de l'étape 2 (2004/2005).
Si vous désirez revoir le texte des questions, c'est ici :
E0404

L’église de Taisnil (Somme).

La journée commence à 0h…l'horloge sonne pour la première fois à 0h30 : 1 coup, puis à 1h : 1 coup, jusqu'à midi 12 coups. Et c'est la même chose pour l'après-midi jusqu'à minuit.

Le nombre de coups se calcule ainsi :

(1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12) ×2 = 90 ×2 = 180

E0405

Les masses de l'école Jean Macé d'Amiens.

La somme de mes six masses est 36. Si j’en enlève une, il m’en reste 5 dont la somme est un nombre pair. Pourquoi ?
La masse extraite vaut, elle aussi, un nombre pair. Pourquoi ?
J’ai deux choix : Je mets de côté la masse « 10 » ; Il me reste 26 grammes, donc 13 par plateau,… et je ne peux obtenir ceci.
Il nous reste à privilégier le nombre 2. Oui, et j’obtiens l’égalité cherchée 10 + 7 = 3 +5+9

La masse non utilisée est donc celle de 2 g.

Jean Macé (1815-1894)

Journaliste républicain et professeur, il n'aura de cesse de se battre pour l'éducation de tous, qu'il juge indispensable à l'établissement de la démocratie. En 1866, il fonde la Ligue française de l'enseignement.

http://www.laligue.org/laligue/rubriques/ligue/histoire/mace.htm

1815 - Jean Macé naît à Paris.
1848 - Il milite en faveur du suffrage universel en même temps que pour l'instruction, à ses yeux indispensable pour accompagner une telle avancée démocratique.
1851 - Après le coup d'Etat de Louis Napoléon Bonaparte, il s'exile à Belbenheim dans le Haut-Rhin où il reprend l'enseignement.
1861 - Il publie son ouvrage de vulgarisation scientifique le plus connu "L'histoire d'une bouchée de pain", ou la digestion racontée aux enfants.
1863 - Il crée la Société des bibliothèques communales du Haut-Rhin, qui s'étend rapidement à tout le pays.
1864 - Avec l'éditeur Hetzel et Jules Verne, il fonde le journal "Le Magasin d'Éducation et de Récréation" qui renouvelle la littérature enfantine.
1866 - Dans le journal "L'opinion nationale", il lance un appel pour la création d'une Ligue de l'enseignement dont il proclame la naissance officielle peu de temps après.
1872 - Après l'annexion de l'Alsace par la Prusse, il s'exile à Monthiers dans l'Aisne où il ne cessera d'enseigner. Dans le même temps, il poursuit sans relâche son combat pour une instruction obligatoire, gratuite, laïque et arpente la France pour mettre en place des cercles locaux de la Ligue de l'enseignement.
1881-1882 - Le vote des lois scolaires instaure l'école de la République.
1883 - Il devient "sénateur à vie".
1894 - Il meurt à Monthiers.

E0406

Les bons vœux de Claude.

De la patience et de la rigueur pour ce problème !
Premier jour : 01012005
Dernier jour : 31122009
Le nombre de zéros pour écrire tous les jours de ces 5 années est le même …en songeant à ajouter le 29 février 2008, c'est-à-dire 29022008 soit 3 zéros de plus.
Nous allons donc nous intéresser à l’année 2005 en procédant mois après mois.
Janvier : 31 jours, le mois de janvier s’écrit 01 avec 1 zéro et l’année 2005 s’écrit avec 2 zéros.
Il y a 12 jours qui s’écrivent avec un zéro. Le nombre de zéros est donc : 31 × 3 + 12 = 105
Février : 28 jours et il y a 11 jours qui s’écrivent avec un zéro. Le nombre de zéros est donc : 28 × 3 + 11 = 95
Mars : comme janvier : 105 zéros
Avril : 30 jours et il y a 12 jours qui s’écrivent avec un zéro. Le nombre de zéros est donc : 30 × 3 + 12 = 102.
Mai : comme janvier : 105 zéros.
Juin : comme avril : 102 zéros.
Juillet : comme janvier : 105 zéros.
Août : comme janvier : 105 zéros.
Septembre : comme avril : 102 zéros.
Octobre : comme janvier : 105 zéros.
Novembre : 30 jours, le mois de novembre s’écrit 11 sans zéro.
Le total de zéros est donc : 30 × 2 + 12 = 72.
Décembre : 31 jours, décembre s’écrit 12. Le nombre de zéros est donc : 31 × 2 + 12 = 75.

Nombre de zéros pour l’année 2005 : 105 × 6 + 102 × 3 + 95 + 75 + 72 = 630+306+95+75+72 = 1177
Du 01/01/2005 au 31/12/2009 Claude aura donc écrit 1177 × 5 + 3 = 5888 zéros


Rappel : on ajoute 3 zéros de plus pour le 29 février 2008 qui s’écrit 29022008.

PC0404

Rectangles dans un rectangle.

Il suffit d'observer et de constater que les triangles qui complètent les rectangles A et B sont égaux deux à deux. On en déduit donc que A = B .

Mais attention dire que A >= B ou que A <= B est également correct. Il y a donc trois bonnes affirmations : 3, 5 et 6.

PC0405

La chaîne de Michèle, la distraite.

Très beau texte repris de l’ouvrage de Martin Gardner qui est édité en langue française par l’ADCS sous le titre « Jeux mathématiques du Scientific American ».

Le texte nous explique bien qu’avec une seule coupure, le bracelet de 7 maillons lui permet de passer 7 nuits avec une seule coupure, le maillon 3.
Avec 23 maillons, je peux m’attendre à avoir au moins 2 coupures, et j’appelle provisoirement ces maillons x et y ; Essayons ;
1ère nuit : je donne le maillon x
2ème nuit : je donne aussi le maillon y.
La 3ème nuit,… que faire ? Je reprends ces deux maillons et les remplace par la chaîne 1-2-3. Et ceci signifie donc que x = 4 !!!
La 4ème nuit, j’ajoute le maillon 4 et notre hôte a donc la chaîne 1-2-3 et le maillon 4.
Le lendemain, j’ajoute le maillon y et l’hôtelier a donc la chaîne 1-2-3 et le maillon 4 et le maillon y.
La 6ème nuit …je reprends tout ce que j’avais donné et il me faut alors une chaîne de 6 maillons, soit 5-6-7-8-9-10 donc y = 11 !!

Et tout est simple :
Nuit 7 : 5-6-7-8-9-10 ; 4
Nuit 8 : 5-6-7-8-9-10 ; 4 et 11 Attention,
Nuit 9 : 5-6-7-8-9-10 ; 1-2-3
Nuit 10 : 5-6-7-8-9-10 ; 1-2-3 ; 4
Nuit 11 : 5-6-7-8-9-10 ; 1-2-3 ; 4 ;11
Nuit 12 : Bravo, j’ai encore une chaîne de 12 maillons 12-13- …23 qui va remplacer tous les autres maillons.
Et vous me faîtes grâce des 12 autres nuits.

Observez bien cette grande chaîne deux fois coupée : 3maillons, une première coupure le maillon 4, 6 maillons, une seconde coupure, le maillon 11, et 12 maillons,
ce qui peut s’écrire : 3, 1, 6, 1, 12.

Vous pouvez poser aussi le problème avec 3 ou 4 coupures autorisées ou plus encore.

PC0406

Les fleurs de Serge.

Il fallait d'abord réaliser le dessin. Dans les conditions du texte, la réponse est 16. Evidemment les fleurs peuvent très bien avoir des pétales communs.

Par un autre découpage, si on ne découpe pas le long des lignes du quadrillage mais le long de lignes tangentes aux pétales, on aurait pu obtenir 25 fleurs.

Ce texte a semblé peu clair pour certains d'entre vous et nous acceptons les deux réponses.

GC0405

C'est très moyen !

Nous obtenons 5 égalités :
A = (13+D) : 2 (1)
D = (A+37) : 2 (2)
37 = (D+C) : 2 (3)
C = (37+S) : 2 (4)
S = (C+61) : 2 (5)
Des égalités (1) et (2) on tire : A = ((A+37) : 2)+13) : 2 soit A = (A+63) : 2 donc A = 63 : 3 et enfin A = 21.
On a alors D = (21+37) : 2 = 58 : 2 donc D = 29.
L’égalité (3) nous permet de trouver C : 37 = (29+C) : 2 donc C = 37×2 - 29 = 74 - 29 = 45.
Avec l’égalité (4), on trouve S : 45 = (37+S) : 2 donc S = 45×2 – 37 = 90 – 37 = 53.
Et on peut vérifier avec l’égalité (5) : ( 45+61) : 2 = 106 : 2 = 53 , c’est bien la valeur de S !

GC0406

Les bougies de Mme Annie Vairserre.

Il nous faut additionner les nombres entiers successifs sans dépasser 1990 ; Allons y :
1+2+3+4+5+………..+30 = 465 beaucoup trop petit.
1+2+3+…+60 = 1830 trop petit.
1+2+3+… +65 = 2145 beaucoup trop grand. (155 bougies en trop ! c’est impossible)
1+2+3+… +64 = 2080 encore trop grand. (90 bougies en trop ! encore impossible)
1+2+3+… +63 = 2016 un peu trop grand. (26 bougies en trop)
1+2+3+… +62 = 1953 trop petit.
Pas de doute ! Mme Annie Vairserre a 63 ans et elle n’a pu fêter son 26ème anniversaire.

GC0407

Un classique !

Aire du grand disque = pi×8² = 64×pi
Aire des 4 petits disques = 4×pi×4² = 64×pi
Le grand disque et les 4 petits disques ont en commun les 4 parties blanches de la figure.
Or ce sont elles que l’on retire pour obtenir le cœur rouge dont l’aire est B ainsi que pour obtenir les quatre croissants verts dont l’aire est A.
Il en résulte donc que A = B et a fortiori que A ≥ B et A ≤ B.

GC0408

A Euclidourt dans la Somme.

Ecrivons les nombres obtenus en comptant de 8 en 8 à partir de 7 et en arrêtant la liste avant 150 : 7;15;23;31 ;39 ;47 ;55 ;63 ;71 ;79 ;87 ;95 ;103 ;111 ;119 ;127 ;135 ;143.
Ecrivons les nombres obtenus en comptant de 7 en 7 à partir de 4 et en arrêtant la liste avant 150 :
4 ;11 ;18 ;25 ;32 ;39 ;46 ;53 ;60 ;67 ;74 ;81 ;88 ;95 ;102 ;109 ;116 ;123 ;130 ;137 ;144.
Les 2 seuls nombres communs à ces listes sont 39 et 95 mais Aristote a plus d’élèves que Pythagore donc :
Il y a 95 élèves à l’école Aristote et 39 élèves à l’école Pythagore.