Combien ? combien ?

Comptons nos quadrupèdes : 1 chien, 2 poulains, 5 cochons, 6 lapins, 7 chats, 8 vaches, 9 moutons ; cela fait 38 bêtes et donc 152 pattes 3 oies et 4 poulettes, voilà donc 7 bipèdes soit 14 pattes. J’ai donc un total de 166 pattes. La fermière, son mari et son fils, ces trois individus nous donnent un total de 6 jambes, et pour les amis de Geneviève, le nombre de jambes est donc de 166 – 6, donc de 160. Geneviève a donc 80 amis.

Dans une salle de classe.

Deux réponses nous ont été proposées 33 et 35.. Ce qui pourrait bien être l’âge de la maîtresse qui a un fils de 12 ans. Mais, lisez bien, on vous demande « le plus grand nombre possible », donc une seule solution obtenue ainsi : (3 + 4) x 5 : (2 – 1) = 35

Le carré de Basile

Ce carré de Basile est bien connu des mathématiciens qui, en oubliant les « 0 » qui le bordent l’appellent le triangle de Pascal (du nom du mathématicien français Blaise Pascal ( XVIIème siècle) auquel il est généralement, mais abusivement, attribué).

Faîtes maintenant la somme des nombres par ligne. Vous trouverez 1, 2, 4, 8, 16, …512 . C’est ce nombre 512 que l’on vous demandait, mais sauriez-vous expliquer pourquoi nous avons cette belle progression 1, 2, 4, 8, …? Il n’est pas difficile de compter les « 0 » qui forment d’abord un beau triangle et 9 + 8 + 7 + 6 + … + 1 cela fait 45, nombre auquel je dois ajouter les 4 zéros qui sont des chiffres écrits dans des nombres de 2 chiffres. La réponse est donc 49.

Un carré au caractère martial.(2)

Le nombre important pour les membres de l’ADCS est 1972, qui est l’année de création de notre association, auteur de ce concours, de ses corrigés ; très joli texte, pas simple, mais aucune supercherie, rien que de la belle déduction ! Bravo aussi à ceux qui l’ont résolu :

Recherchons d’abord quelle est la somme des nombres de chaque ligne, colonne, diagonale (on l’appelle la somme magique du carré magique). Les nombres de 1 à 16 sont tous écrits une fois et une fois seulement. La somme de ces 16 nombres est donc136. Et la somme magique est donc 136 / 4 soit 34. Il est alors immédiat d’écrire le 10 puis le 9.

Remarquons bien que les quatre nombres A, D, C, S sont des nombres de 4 chiffres et que les 6 nombres qui me restent à trouver sont :1, 2, 4, 7, 11, 15. A chaque fois que je trouverai un nombre, je n’oublierai pas de barrer un nombre dans cette liste.

Plus délicat : j’ai maintenant sur chaque alignement deux nombres inconnus ; je choisis un alignement où j’ai à la fois un nombre de 1 chiffre (repéré par une lettre) et un autre nombre Je choisis la 2ème ligne : 8 + 14 = 22. Les deux nombres inconnus ont pour somme 12 qui ne peut provenir que de 1 + 11, deux nombres que j’écris. Puis j’écris le 2, le 15, le 7 et le 4. Voilà, je contrôle que ce carré est magique et aussi que le nombre de 4 chiffres ADCS est bien le nombre 1972 qui est un millésime.

Corinne et l’égalité des sexes

Il n’est pas bien difficile de noter que Arnaud reçoit le 1/4 du gâteau, Jean Christophe 1/8, et le 1/16 à Romain et Léo.. le gâteau complet a donc une masse de 50g x 16 = 800g , et Corinne a donc 400 g du gâteau. Oui, il y a égalité des sexes : 400g pour LA fille et 400g pour LES garçons  !!

Veux-tu une frite ?

Xavier a 10 ans, Yvan 5 ans et Zoé 9 ans. S'ils prenaient chacun respectivement 10, 5 et 9 frites, cela ferait 24 frites à eux trois. Ils ont au total 72 frites: on remarque que 72 = 3 x 24. Xavier aura donc 3 x 10 = 30 frites, Yvan aura 3 x 5 = 15 frites et Zoé aura 3 x 9 = 27 frites.

Héritage déséquilibré

L’aire des parcelles de Gustave est facile à calculer :
Les triangles rectangles ABC et CDE ont la même aire : (16×12)/2 soit 96 dam². Sachant qu’un are vaut un décamètre carré, Gustave reçoit donc en héritage 192 ares (2 × 96).

Pour calculer l’aire du triangle ACE, commençons par celle du trapèze ABDE :
La formule (Grande Base + Petite Base) × Hauteur / 2 nous donne (16 + 12) × (16 + 12) / 2. La pâture ABDE a une aire de 392 ares.

Louis hérite la pâture moins la part de Gustave soit 200 ares (392 – 192).

Gustave avait raison ; il doit réclamer 4 ares à Louis pour que le partage soit équitable. Ainsi ils auront chacun 196 ares.

Pour la petite histoire, le 20ème président des Etats-Unis, James Abraham Garfield* (1831-1881), proposa une démonstration originale du théorème de Pythagore en utilisant la même configuration de trapèze rectangle ABDE :

On pose AB = CD = a ; BC = DE = b ; AC = CE = c. On montre que le triangle isocèle ACE est rectangle en C ; son aire est donc c²/2. La somme des aires des triangles ABC et CDE est : 2 × ab/2. Ainsi l’aire du trapèze est : (c² + 2ab)/2. Par la formule de calcul d’aire d’un trapèze, on trouve : (a + b) × (a + b)/2 = (a² + b² + 2ab)/2. En identifiant les deux formules, on obtient c² = a² + b². Ainsi dans tout triangle ABC rectangle en B, en posant AB = a ; BC = b ; AC = c, on obtient : c² = a² + b². Le théorème de Pythagore est démontré !

* Cette solution et bien d’autres sont présentées dans le chapitre XIV (Le pont aux ânes) du livre « Jeux mathématiques du « Scientific American » »  écrit par Martin Gardner, traduit en langue française et qui est actuellement édité par l’ADCS (voir page d’accueil de notre site, puis cliquez sur « livres »).

Une grille hexagonale

Très simple petit problème dont voici la solution : 17, 8, 3, 4, 6,10, 19, 7, 20.

Le nouveau pentagone de Cyril

Le tracé des cordes du pentagone régulier fournit un découpage en 11 polygones (10 triangles et un autre pentagone). Nous allons pour la commodité de ce corrigé numéroter ces 11 polygones.
J’appelle 1 un petit triangle dont le sommet principal est un sommet du pentagone, puis 2 un triangle voisin, et de proche en proche, j’ai numéroté jusqu’au numéro 10 chacun des triangles et le petit polygone est appelé 11.

Voici les triangles isocèles simples :
-1, 2, 3, .. 10 . soit 10 triangles.
- puis les triangles composés de 2 triangles :
1.2,. 2.3, 3.4, 4.5, 5.6, 6.7,7.8, 8.9, 9.10, 10.1.soit 10 triangles.
- puis les triangles composés de 3 triangles :
2.3.4, 4.5.6, 6.7.8, 8.9.10, 10.1.2 et de nouveau 5 triangles.
- puis ceux composés de trois polygones (petit pentagone 11 y compris) :
1.11.5, 1.11.7, 3.11.7, 3.11.9, 5.11.9 soit 5 triangles.
enfin ceux composés de 5 polygones :
1.11.5.6.7, 3.11.7.8.9, 5.11.9.10.1, 7.11.1.2.3,. 9.11.3.4.5, et encore 5 triangles.

Et je compte donc 35 triangles isocèles

Les louis de Louis luisent

La première déclaration nous indique que l’aîné a 4 ans de plus que le cadet.
J’appelle A l’âge de l’aîné et C l’âge du cadet. A = C + 4
La somme de leurs âges 2C + 4 donne le nombre de louis qu’ils ont à eux deux, et ce nombre est le produit de deux nombres consécutifs. Quelques essais pour les dimensions de ce rectangle qui contient ces louis :
4 et 5 : produit = 20 ; donc 2C = :16 et C = 8. Non cet âge est trop petit pour être collégien.
5 et 6 : produit = 30 ; donc 2C = :26 et C = 13. résultat acceptable et alors C =17.
6 et 7 : produit = 42 ; donc 2C = :38 et C = 19. Non C est trop grand.
Vous avez dès maintenant l’âge de ces deux frères : 13 et 17 ans.

La petite sœur de Julien

Remarquons que le nombre de bougies soufflées chaque année par Julien et Martine est un nombre triangulaire 1 + 2 + 3 +… p.
Cette année Julien a « n » années et sa sœur n - 3. La différence de nombre de bougies soufflées (33) par Martine est (n – 1) + (n – 2) + (n – 3), soit 3n – 6 ; d’où 3n = 39 et n = 13.

Julien a 13 ans et a soufflé 1 + 2 + 3 +…+ 12 = 78 bougies.
Martine a 10 ans et a soufflé 1 + 2 + 3 +…+ 9 = 45 bougies.

Une définition.

17ème Conférence générale des poids et mesures en 1983 :
Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de
1/299 792 458 de seconde.

La réponse est donc 2 (mètres)

Terrible suite

Ce texte vient d’être publié (avec sa solution) dans un nouveau livre dont l’auteur est l’ADCS : Maths & jeux d’Hanoï, d’Aujourd’hui, d’Hier, d’Ailleurs.

Nous avons insisté dans l’écriture de son énoncé sur les nombres trapézoïdaux. Qu’est ce que cela ?
Si vous empilez les écritures 1, 22, 333, 4444, …999999999 vous obtenez un nombre triangulaire et écrit 45 chiffres.

Puis viennent les nombres à 2 chiffres.
1ère ligne : 10 (écrit 10 fois)
2ème ligne : 11 (écrit 11 fois)
3ème ligne : 12 (écrit 12 fois)
…
100ème ligne : 99 (écrit 99 fois)

N’est ce pas un beau trapèze ? Nous pouvons calculer facilement le nombre de chiffres pour ce trapèze et pour les suivants, je note : B et b les nombres répétés dans les côtés parallèles ou bases.

Je calcule la somme c des bases. Je calcule h la hauteur du trapèze h = B – b + 1 (n’oubliez pas le « +1 ») Nous nous souvenons de la formule donnant la surface du trapèze ( S = ((B + b) x h ) / 2). Et pour chaque trapèze composé de nombres de 1 chiffre (c’est le triangle initial), 2, 3 ou 4 chiffres je n’oublie pas de multiplier par ce nombre pour obtenir le nombre f de chiffres qu’il contient.

Ce petit texte réclamait en fait de la méthode pour bien mener ces calculs. Je vous rappelle à ce propos que vous disposez dans votre revue « Les héritiers d’Archimède » sur ce site de la formidable calculatrice de Romain que vous pouvez télécharger.