Les marrons ronds d’Arnaud

Il y a « équilibre » entre les valeurs des marrons d’Arnaud et ce que propose Sophie. Représentons-nous ces deux possibilités sur les deux plateaux d’une balance qui sera en équilibre.. Enlevons un cornet de marron rond de chaque plateau. L’équilibre est maintenu et j’ai maintenant 1,5 cornet qui équilibre 3 euros,… donc un cornet vaut 2 euros.

Loups, moutons et serpents.

Ce petit problème pouvait vous apparaître au premier abord comme ardu. Il n’en est rien ! La population d’animaux de ce pré peut être parfaitement décrite par un simple triplet de nombres, par exemple, d’abord le nombre de moutons, celui de loups, celui de serpents. Ainsi le soir du dernier jour, la situation donne le triplet : 1, 0 ,0. La veille au soir elle était donc de 2, 1, 1, l’avant-veille de 3, 2, 2 Et le jour précédent ? Et celui qui encore le précédait ?... Le soir du premier jour la situation était donc 15, 14, 14, et à l’aube elle était de 16, 15 , 15.

Nombre de 2 chiffes.

L’addition de deux nombres qui sont les images-miroirs l’un de l’autre fournit nécessairement un nombre (et notre texte exige qu’il ne possède que deux chiffres) dont les deux chiffres sont identiques ! Le nombre 11 ne peut être pris en compte (pourquoi ?) Les seuls nombres que nous pouvons obtenir sont donc 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, et 99 soit 8 nombres.

Le vieux coq Luc louche !

Et s’il ne louchait pas !!! Il verrait donc bien 7 têtes et 20 pattes ce qui nous donne les situations envisageables que je présente dans un tableau ; j’envisage toutes les solutions de 7 têtes avec au moins 1 lapin et 1 poule. Je calcule alors le nombre de pattes et seule(s) la (ou les) situation(s) avec 20 pattes pourront être retenue(s).

et seule la situation qui convient est celle avec 3 lapins et 4 poules Mais, Luc louche et la situation réelle est donc de 3 poules et 4 lapins et Jean Claude compte donc 22 pattes.

LE DODECAGONE DE KEVIN.

Un dodécagone a 12 sommets et 12 côtés. De chacun des 12 sommets « partent » 11 cordes . Attention, en écrivant cela, chaque corde est tracée comptée deux fois : le nombre de cordes est donc de (12 x11) /2 = 66. 12 de ces cordes sont les côtés du dodécagone. Nous avons donc 66 – 12 = 54 diagonales.

AUTRE POLYGONE.

Le plus simple est peut être de compter les diagonales de polygones en nombre croissant de côtés !
Le triangle : 0 diagonale, le quadrilatère : 2, le pentagone : 5, l’hexagone : 9, l’heptagone : 14, l’octogone : 20.

ISABELLE ET OLIVIER.

Ce texte fait référence à trois périodes de la vie de ces enfants. Aujourd’hui, dans 5 ans, il y a 5 ans. Dans 5 ans ils auront ensemble 35 ans. Aujourd’hui, ils ont donc ensemble 25 ans et il y a 5 ans, ils avaient donc ensemble 15 ans. . Isabelle avait donc 10 ans et Olivier 5 ans Aujourd’hui, Isabelle a donc 15 ans et Olivier 10 ans..

PYRAMIDES.

Difficile en apparence. Nous vous rappelons tout d’abord la signification du signe « = ». Lorsque vous rencontrez une égalité numérique, il faut bien comprendre que ce qui est à gauche du signe « = » et ce qui est à droite désignent le même nombre, que vous avez donc deux écritures d’un même nombre, ou si vous préférez que l’une est une réécriture de l’autre et dans tout calcul, vous pourrez utiliser au choix l’une ou l’autre de ces écritures.

Première pyramide : ah que ce serait simple si le texte vous avait fourni ce nombre « a » ;Et bien nous allons le trouver simplement.

Nous pouvons écrire b = 12 x a (que nous écrirons plus simplement b = 12a).. De même c = 6a et comme bc = 16200, nous obtenons 12a x 6a = 72 aa = 16200 Il vient alors aa =  :16200 : 72 = 225 et donc a vaut 15.Il est immédiat alors de calculer b et c ; b = 12 x 15 = 180 et c = 6 x 15 = 90.

Voici les petites secrets de notre première pyramide connus (remarque : l’écriture axa est souvent noté a2 que l’on lit « a au carré ».

Deuxième pyramide : Nous voyons immédiatement que g = 3 et que d = 90..

6e = 90 donne e = 15.
3h = 15 donne h = 5 et f = 35.

Cette pyramide était peut être plus simple que la précédente.

DECOUPAGE D’UN CARRE.

Le carré ABCD est composé de 9 polygones dont le carré central. Choisissez un des trapèzes rectangles et un (parmi les deux) triangle qui le borde. Sauriez- vous voir qu’en prenant ce trapèze et ce triangle et en les assemblant autrement, on obtient exactement un carré, le même que le carré central. Et vous pouvez répéter cette opération pour chaque trapèze. Vous venez donc de montrer que le carré ABCD est composé de 9 pièces qui ont la même aire que cinq fois celle du carré central.. Le carré ABCD a une aire de 25 cm2. Celle du carré central est donc de 5 cm2

ILS ONT BEL AIR.

Chimène et Ulysse sont donc deux triangles isocèles. Une des façons les plus simples de comprendre ce petit texte (sans utiliser de nombres) est peut être celle-ci.

Vous allez tracer un losange en commençant par tracer ses deux diagonales de longueur fortement différentes, puis vous supprimerez un de ces côtés. Vous avez donc sur votre dessin 3 triangles rectangles superposables qui réunis par 2 vous donnent bien 2 triangles isocèles. Les voyez-vous ? Ils ont nécessairement même aire puisque formés de deux triangles superposables ! Et pourtant, ils ne se ressemblent pas !!

Il resterait à légitimer le choix que fit l’auteur des deux triplets de nombres 41, 41,80 et 41, 41 18. Nous avons tout simplement recherché les dimensions d’un triangle rectangle, dimensions en nombres entiers. Et nous avons choisi le triplet 41, 40, 9 qui nous a fourni les dimensions des triangles isocèles. (Si vous recherchez d’autres triplets « pythagoriques », voyez donc dans votre revue « Les héritiers d’Archimède », sur notre site, le texte T 92).

LES CARRES DE CARO

Le théorème de Pythagore nous garantit l'égalité des aires blanches et rouges.

Nous allons nous intéresser à l'égalité des aires bleues et blanches. Il s'agit de trouver cinq nombres entiers positifs consécutifs. Nommons ces nombres (n-2), (n-1), n, (n+1) et (n+2) avec n>2 (pour que tous les nombres soient positifs).

La somme des aires des trois petits carrés doit être égale à celle des deux plus grands. Cela nous donne l'équation : (n-2)² + (n-1)² + n² = (n+1)² + (n+2)² Développons : n² – 4n + 4 + n² – 2n + 1 + n² = n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 (*) soit : - 4n – 2n + n² = 2n + 4n en éliminant les termes identiques dans chaque membre de l'équation puis - 4n – 2n + n² – 2n – 4n = 0 en transposant et : n² – 12n = 0 en réduisant enfin : n (n –12) = 0 en factorisant n Il faut qu'un des deux facteurs du membre de gauche soit nul c'est-à-dire n = 0 ou n = 12 or n>2 donc la seule possibilité est d'avoir n = 12

Les cinq nombres consécutifs sont alors : 10; 11 ; 12; 13 ; 14 On vérifie aisément que 10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365 où l'on retrouve le nombre de jours de l'année 2007 qui, est-il besoin de le rappeler, n'est pas bissextile. Les élèves de 4ème ne connaissent pas encore les identités remarquables (cela ne saurait tarder, rassurez-vous).

Pour développer (n-2)² il suffit de procéder ainsi : (n-2)² = (n-2) (n-2) = n × n – n × 2 – 2 × n + 2 × 2 = n² – 4n + 4 De même, (n-1)² = n² – 2n +1 ; (n+1)² = n² + 2n +1 et (n+2)² = n² + 4n + 4

Les petits génies de l'informatique auront peut-être procédé autrement : à l'aide d'un tableur on complète la feuille de calcul ci-dessous en 2 minutes chrono ! L'inconvénient de cette méthode est qu'elle ne nous garantit pas l'unicité de la solution.

Il NE FAIT PAS FROID

Une indication nous est donnée. Bien vraisemblablement, nous aurons des températures négatives. Pas 1 température, ni 3, car alors le produit serait impair, mais 2 ou 4 températures. Par tâtonnements certes, j’ai trouvé ces 5 températures -2, -1, 1, 2, 3.

UN HERITAGE EQUITABLE

Ce problème, le dernier proposé aux grands élèves de collèges ne semble pas simple. Mais il est parfaitement résoluble pourvu qu’on lise bien l’énoncé, qu’on le traduise en égalités, que l’on sache faire quelques opérations de soustraction et de division par 10 et aussi et surtout que l’on se donne une méthode de recherche. Nous allons bien développer un corrigé de cet exercice, corrigé qui est parmi les plus simples. Nous vous demandons la valeur de l’héritage (que j’appellerai h) et le nombre de partages (que j’appellerai n). Il existe une relation assez simple entre ces valeurs. Le quotient de h par n nous donne la valeur unique de chaque part (que j’appelle p). L’égalité h = p x n nous permet dès que deux des nombres h, p et v sont connus de calculer le troisième !

Lisez bien ce qui suit sans vous occuper des calculs que vous reprendrez après.

L’énoncé nous permet de calculer, en fonction de h, la première part et nous précise aussi que toutes ces parts sont égales. Nous allons calculer quelle est la part P1 qui revient au premier, puis en fonction du reste que nous calculerons facilement, quelle est la part P2 du second,… et nous dirons que ces parts sont égales ! Le premier enfant prend 100 euros et le 1/10 du reste. La part P1 du premier est 100 + (h – 100) / 10 = 90 + h / 10 Le Reste R1 après cette prise est alors de h – (90 + h / 10) = h – 90 – h / 10 = 9 h / 10 - 90 Calcul identique pour le second ; déduisons d’abord les 200 euros puis calculons le 1 /10 de ce qui reste. P2 = 200 + (R1 – 200) / 10 = 200 + (9h / 10 – 90 – 200) / 10 = 200 + 9h / 100 – 29 = 9h / 100 + 171 Ecrivons que ces parts sont égales : 90 + h / 10 = 9h / 100 + 171, h/10 – 9h/100 = 171 -90 h/100 = 81 h = 8 100

Et le tour est joué ! Le premier prend 100 euros + le 1/ 10 de ce qui reste, reste qui vaut (8 100 – 100) / 10 = 800. et P1 =.100 + 800 = 900 Chaque part étant égale, nous avons donc 8 100 / 900 = 9 parts Valeur de l’héritage : 8 100 Nombre d’héritiers :9

et je vous propose maintenant , dans un tableau de contrôler tout ceci :

Comme pour GC3, on peut également résoudre l'énigme à l'aide d'un tableur (sans garantie d'unicité):