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| Le personnage
célèbre (T43) |
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SAM LOYD
Né le 31 janvier 1841 à Philadelphie, Pennsylvanie,
Etats-Unis et mort le 10 avril 1911 à New York, Etats-Unis
; ce personnage était le créateur de puzzles
et de récréations mathématiques célèbres.
Il a étudié la technologie et a eu l’intention
de devenir ingénieur mécanicien mais il a bientôt
fait sa vie à partir de ses puzzles et problèmes
d’échecs. En 1860, il est rédacteur de
magazines mensuels sur les problèmes d’échecs
et en 1878 il édite un livre « Stratégies
d’Echecs ». Son puzzle le plus célèbre
est le puzzle 14-15 qu’il a créé en 1878.
( Pour plus d’informations sur le puzzle 14-15 de
Sam Loyd, vous pouvez consulter le livre de Martin Gardner « Recréations
mathématiques du Scientific American » dont
la traduction est éditée actuellement par l’ADCS
( cliquez sur le bouton «Livres »)).
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Soient a, b et c trois chiffres choisis.
On sait que 578
= 5 ×100 + 7 × 10 + 8
de même on a : abc = a ×100 + b ×10 + c
.
La somme s vaut : a + b + c
Les six nombres possibles sont : abc, acb, bac, bca, cab
et cba.
Et la somme S vaut :
S = abc + acb + bac + bca + cab + cba
S = (a ×100 + b×10 + c ) + (a ×100 + c ×10
+ b )+(b ×100 + a ×10 + c ) + (b ×100
+ c ×10 + a ) + (c ×100 + a×10 + b ) +
(c ×100 + a×10 + b )
S = 100 ( 2a + 2b + 2c ) + 10 ( 2a + 2b + 2c ) + ( 2a + 2b
+ 2c )
S = ( 2a + 2b + 2c ) ( 100 + 10 + 1)
S = ( 2a + 2b + 2c ) × 111
S = 2 × 111 × ( a + b + c )
S = 222 × ( a + b + c )
Or a + b + c = s donc S = 222 × s , ce qui veut dire
aussi S : s = 222
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| Que de zéros (T43) |
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Le nombre de zéros dans l’expression de factorielle 2003
est le nombre de facteurs 5 dans la liste des nombres de 1 à 2003
(chacun d’eux pourra être associé à un facteur
2 dont le nombre est bien plus grand comme on peut aisément le démontrer
ou encore le constater après coup – voir plus bas…).
Chacun des 400 multiples de 5 inférieurs à 2003 apportera
un facteur 5 sans compter les facteurs supplémentaires apportés
par les multiples de 5 × 5 qui figurent parmi eux.
Chacun des 80 multiples de 5 × 5 = 25 inférieurs à 2003
apportera un facteur 5 supplémentaire sans compter les facteurs
supplémentaires apportés par les multiples de 5 × 5 × 5
qui figurent parmi eux.
Chacun des 16 multiples de 5 × 5 × 5 = 125 inférieurs à 2003
apportera encore un facteur 5 supplémentaire sans compter les facteurs
supplémentaires apportés par les multiples de 5 × 5 × 5 × 5
qui figurent parmi eux.
Enfin chacun des 3 multiples de 5 × 5 × 5 × 5 = 625 inférieurs à 2003
apportera un dernier facteur 5 supplémentaire.
Finalement le nombre de facteurs 5 sera 400 + 80 + 16 + 3 = 499 .
Remarquons que l’on vérifie bien que le nombre de facteurs
2 est lui bien supérieur puisqu’il est au moins (largement
!) le nombre de nombres pairs inférieurs à 2003 !
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