Mille Feuilles

Vous avez bien observé les quatre tomes sur le dessin ; où se trouve la page 1 et où se trouve la page 501 ?
Ces pages 1 et 501 n’étant pas comptabilisées (ainsi que les pages 1501 à 2000), seules les pages des tomes 2 et 3 sont traversées par notre lépisme, soit en tout 500 feuilles.

Le cube incomplet

Comptons les cubes manquant à partir de la couche du sol. Il manque donc :
Couche 1 : 8 cubes,
Couche 2 : 8 + 3 = 11 cubes,
Couche 3 : 11 + 0 = 11 cubes,
Couche 4 : 11 + 3 = 14 cubes,
Couche 5 : 14 + 1 = 15 cubes,
Soit, au total 59 petits cubes.

Le chamboule-tout (1).

Il y a deux solutions.
Après quelques essais, on s’aperçoit que : 10 + 12 + 13 + 5 + 9 + 8 = 57 et que 10 + 12 + 13 + 5 + 6 + 11 = 57. Nathalie a donc touché la boîte 8 ou la boîte 6.

Le concours E. Lucas

Il ne semble pas qu’il y ait des élèves ayant le même classement.
Par déductions successives, on obtient le classement : Alexandra, Théo, Manon, Cyril et Emma.
Le second score est donc celui de Théo.

Quelle drôle de division

Le nombre a est 86 bien entendu.
Le diviseur ne peut pas être 7, car le reste serait 9 ou 11 ; ce qui est impossible, le reste étant toujours plus petit que le diviseur.
11 peut être soit le diviseur, soit le quotient, mais pas 9, car 9 x 11 = 99 > 86.
La réponse est donc a = 86, b = 11, c = 9, d = 7.

Divisible ou pas ?

Le nombre est divisible par 2 ou par 5 ; il se termine donc par 0 et s’écrit 1 ? 0 ? 40.
Le nombre est divisible par 9 ; la somme de ses chiffres est donc un multiple de 9, et vaut donc 9 ou 18.
Nous connaissons deux chiffres, 1 et 4 dont la somme est 5.
Pour les deux nombres manquants, la somme vaut 4 ou 13.
Si cette somme est 4, nous avons cinq solutions, et si elle vaut 13, nous en avons six.
Voici ces solutions :
100440, 140040, 110340, 130140, 120240, 140940, 190440, 150840, 180540, 160740, 170640.
Nous avons donc 11 solutions.

Le papy russe

Papy a 98 ans et est donc né en 1905.
C’est bien facile à calculer surtout si on oublie de lire le second paragraphe de cette question; complètement inutile ici. Il ne comporte cependant aucune erreur.

Cryptogramme

Ce petit texte nous provient de notre ami Dominique Souder de La Rochelle. Et nous l’avons entièrement pris de l’excellent « Y’a pas qu’les maths dans la vie … ! » livre qu’il vient d’écrire aux éditions ALEAS . Vite courez à la bibliothèque de votre collège. Vous l’y trouverez. Si ce livre n’y est pas, il ne restera qu’à vous le faire offrir.
Dominique Souder n’a pas écrit AMIENS, mais CARINE, ni BBBBBB, mais MMMMMM. Quant au corrigé d’aujourd’hui, nous l’avons entièrement repris ... dans son livre.
On doit remarquer que 7 x AMIENS = BBBBBB, et que ce résultat n’a que six chiffres, comme AMIENS, et non pas 7.
Donc à gauche 7 x A ne dépasse pas 10, et A ne peut pas être plus grand que 1. La lettre B est alors à envisager parmi les valeurs 7, 8, 9.
On ne peut avoir B = 7, car AMIENS vaudrait 111111, alors que toutes les lettres sont différentes.
On ne peut avoir B = 8, car 888888 : 7 = 126984, mais ensuite AMIENS + AMIENS donne 253968, qui n’est pas constitué des mêmes chiffres (IENSAM) que AMIENS
Si l’on pose B = 9, on obtient 999999 : 7 = 142857
On peut vérifier que quand on multiplie 142857 par 2, ou 3, 4 , 5 , 6, les résultats peuvent s’écrire avec les chiffres 1, 4, 2, 8, 5, 7, dont on change le départ en coupant comme avec un jeu de cartes. Par exemple, pour 142857 x 4, on s’attend à avoir pour chiffre des unités du résultat un 8 car 7 x 4 = 28 ; dont on coupe après le 8 et on fait passer 57 à gauche devant 1428, et on a le résultat 571428. Finalement, vous pouvez reposer toutes les additions en clair, et les vérifier : AMIENS = 142857 et BBBBBB = 999999.

Le chamboule-tout (2)

Il n’est pas difficile de compter le nombre de boîtes d’un chamboule-tout à 1 ou 2 ou 3 ou … étages ; commençons cette suite de nombres que nous arrêterons dès que nous aurons atteint ou dépassé 2003. Nous notons (le nombre d’étages de chaque jeu) 1(1) 3(2) 6(3) 10(4) 15(5) 21(6) 28(7) 36(8) , … 1953(62) 2016(63).

Ce calcul est certes assez fastidieux et si vous avez lu nos derniers textes ou derniers concours, nous aurez noté que les sommes 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3 , 1 +2 + 3 + 4, … 1 + 2 + 3 + … + n sont des nombres triangulaires qui se calculent facilement. Le nième est n x (n + 1) / 2.

Nous venons simplement de dire que tout nombre triangulaire est le demi produit de deux nombres consécutifs. Bref, Pierre ne peut construire son chamboule-tout car il lui manque 2016 – 2003 = 13 boîtes.

La troisième couronne

Il vous suffit de la construire. Il vous faut 18 triangles équilatéraux et 12 carrés.

Youki, viens ici !

Le schéma est clair et Youki parcourt :

- Un demi cercle de rayon 10 m,
- Un quart de cercle de rayon 8,
- Un quart de rayon 2,
- Un quart de rayon 4.

La longueur totale est donc : 10 pi + 2 pi + 4 pi + pi soit 17 pi, et si l’on prend pour pi la valeur 3,14, on obtient 53,38 mètres.

Quelle famille !

Il s’agit de la famille CASSINI

Planètes

Sept corps célestes sont visibles à l’oeil nu et donc connus depuis l’antiquité. Cinq correspondent à des planètes (nous avons ecrit en italique ces cinq noms dans le tableau qui suit des 9 planètes de notre système solaire). Vous n’oublierez pas que nous voyons aussi le Soleil et la Lune.

Et, c’est donc parce que ces corps célestes sont au nombre de 7 que notre semaine compte 7 jours !

Lundi, c’est Lunae dies, jour de la Lune
Mardi, c’est, Martis dies, jour de Mars
Mercredi, Mercurii dies, jour de Mercure
Jeudi, c’est, Jovis dies, jour de Jupiter
Vendredi, c’est Veneris dies, jour de Vénus
Samedi, c’est Sabbati dies, jour du Sabbat (en anglais c’est Saturday, jour de Saturne)
Quant au jour suivant, Dimanche en langue française, c’est tout simplement Dominica dies ou jour du Seigneur . Cependant les Anglais le notent Sunday, les Allemands Sonntag.

Voici donc nos planètes:

Nous ne vous avons pas dit ce qu’était l’Unité Astronomique ! Mais, vous le savez maintenant.
Par ailleurs, nous retenons facilement la distance Terre-Soleil si l’on se souvient que la lumière du Soleil met 8 min et 20 s (soit 500 s) pour nous parvenir et que la vitesse de la lumière est de 300 000 km/s.

Un vieux problème

Ce corrigé s’adresse à tous les élèves de collège, même des élèves de sixièmes, et pourtant, nous allons utiliser des inconnus ! et ce n’est vraiment pas bien difficile.
Appelons x, le nombre de problèmes réussis, et appelons y celui de problèmes ratés.
Nous allons tout d’abord traduire notre énoncé par deux équations :

x + y = 26 et 8x = 5y

Assurez-vous que nous avons bien traduit notre énoncé et nous allons transformer cette première ligne en une ligne équivalente que nous transformerons de nouveau …

8x + 8y = 208 et 8x = 5y (attention : nous remplaçons maintenant 8x par 5y et nous vous engageons à vérifier que chacune des écritures suivantes est bien, en un certain sens, une réécriture de la précédente).
5y + 8y = 208 et 8x = 5y
13y = 208 et 8x =5y
y = 208 : 13 et 8 = 5y
y = 16 et 8x = 80
y = 16 et x = 10
Voilà c’est tout ; le nombre de problèmes réussis par l’enfant est dix.

Vous pouvez facilement continuer ce tableau jusque 10 étages ou réfléchir à une formule générale pour un nombre quelconque d'étages.

Pour un chateau de 10 étages, la réponse est 155.