T59 - Nombres figurés (2).

SOMME DE CUBES.

Continuons et complétons un peu notre première étude ( texte T 57 ). Et nous commencerons par des nombres qui vous sont bien familiers: les nombres pairs et les impairs! Mais nous parlerons de nouveau de carrés, de triangulaires et nous découvrirons les cubes et les équerres !

tableau 1

rang

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

…

n

pair

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

…

2 (n-1)

impair

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

…

2n-1

Une représentation commode des nombres impairs: l'équerre.

X      
X     2 + 2 + 1 = 5
O X X  
figure 1
X        
X       3 + 3 + 1 = 7
X        
O X X X  
Cette appellation « équerre » est parlante; et pratique aussi. Notons tout de suite que des nombres impairs consécutifs seront représentés par des équerres parfaitement emboîtables.

 
Voici un exemple:
Figure 2
O X O X
O X O O
O X X X
O O O O
Que pensez-vous de la somme d'un carré et d'une équerre (bien ajustée) ?
X X O
X X O
O O O

2 2 + ( 2 × 2 + 1) = ( 2 +1) 2

X X X O
X X X O
X X X O
O O O O

3 2 + (2 × 3 + 1) = ( 3 +1) 2

et plus généralement: z 2 + 2 z + 1 = ( z +1 ) 2 (nota: une application immédiate pour le calcul mental: connaissant le carré d'un naturel n, le carré de son suivant n + 1 s'obtient en ajoutant l'impair 2n + 1)

Voyons cela et aidons-nous d'une figure:
figure 4
1 + 3 = 4 = 2 2   O X O X
1 + 3 + 5 = 9 = 3 2     X X O X
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 2   O O O X
    X X X X

et vous découvrirez que, plus généralement, la somme des n premiers impairs égale le carré de n.

1 + 3 +5 + 7 +....+ (2n - 1) = n 2

Les équerres nous réservent encore des surprises si nous étudions... les cubes:

Nous nous proposons maintenant de représenter des cubes par des nombres figurés. Il n'est pas simple de représenter sur une surface comme celle d'une feuille qui est un objet à deux dimensions, un volume qui est un objet à 3 dimensions. De plus nous voulons faire des calculs. Une première astuce: Nous allons débiter ce cube en tranches de même épaisseur.
  
Ainsi le cube 125 ( 125 = 25 × 5 ) sera représenté par 5 tranches carrées de 25 unités. Et comme je ne sais que faire de ces tranches carrées, je vais tenter de les transformer en équerres et je recherche des impairs consécutifs afin de réussir des emboîtements de ces équerres. J'opère des interventions de type ablations ou greffes . En effet par ajout (ou retrait) de 2 à un nombre impair, on obtient un nouveau nombre impair.


O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

 

125 = 25 + 25 + 25 + 25 + 25. Je repère le pivot de cette écriture et transforme les deux 25 voisins de ce pivot en 23 et 27, les deux autres en 21 et 29. Ce qui me donne : 125 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29 (Vous remarquerez que par ces opérations simultanées de greffes et d'ablations qui se compensent , nous n'avons pas changé la somme 125).

 

figure 5

O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O O     O O O O O        
O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O O     O O O O O        
O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O O     O O O O O        
O O O O O   O O O O O O O O O O O O O O O     O O O O O        
O           O O O     O O O O O O O O O O O O   O O O O O O O O O

Vous pouvez noter que ce qui est décrit ici s'applique immédiatement pour tout cube de nombre impair.

Si vous prenez le cube d'un nombre pair, il y va un peu autrement. Ainsi 64 (cube de 4) nous donne bien des tranches de 16 nombres, 4 exactement. Mais nous n'avons pas de nombre-pivot ; au lieu, comme avec nos nombres impairs de l'exemple précédent, d'enlever 2 puis 4 d'un côté et de compenser en ajoutant 2 puis 4 de l'autre, nous ôterons à partir du milieu de cette suite1 puis 3 , puis compenserons...

 

L'écriture 64 = 16 + 16 + 16 + 16 devient 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

tableau 2: Décomposition des cubes de 1 à 1 000 en somme de nombres impairs consécutifs


1 = 1
8 = 3 + 5
27 = 7 + 9 + 11
64 = 13 + 15 + 17 + 19
125 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
216 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41
343 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55
512 = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71
1 000 = 91 + 93 + 95 + 97 + 99 + 101 + 103 + 105 +107 +109

 

 
1
2
3
4
5
O
X
X
O
O
O
X
X
X
X
O
O
O
O
O
X
X
X
O
O
O
X
X
X
X
O
O
O
O
O
X
X
X
O
O
O
X
X
X
X
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
X
X
X
X
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
X
X
X
X
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
X
X
X
X
O
O
O
O
O
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
O
O
O
O
O
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
O
O
O
O
O
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
O
O
O
O
O
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O

Le CARRE de 15 x 15 : 225.
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ; 15 est la somme des 5 premiers naturels.
225 = (1+ 2 + 3 + 4 + 5 ) 2 est le carré de la somme des 5 premiers naturels.

225 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125
225 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3

225 est la somme des cubes des 5 premiers naturels.