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Il est extrêmement simple de partager notre nuage qui compte un billion (un million de millions) de points en deux nuages qui comptent donc chacun 500 000 millions de points (voir figure 1)

Nous n’avons dessiné que quelques points, mais le raisonnement dans le cas de notre énorme nuage est exactement le même.

Traçons toutes les droites joignant deux de ces points ; bien entendu certaines en contiendront plus de deux, mais ceci n’est pas gênant.

Vous obtenez ainsi un grand nombre de droites. Choisissons un point P qui n’appartient à aucune de ces droites. Et traçons une droite (en pointillé sur notre dessin) joignant P à un des points de notre nuage initial. Cette droite NE CONTIENT QU’UN POINT DU NUAGE INITIAL. Pourquoi ?

Je compte : 1 point. Puis vous faîtes tourner cette droite (en pointillés) autour de P ; Elle rencontre un nouveau point du nuage et vous comptez : 2, puis vous tournez toujours en ajoutant 1 à chaque nouveau point rencontré et « bientôt » vous atteindrez le 500 000 000 000ème point du nuage et tracerez une nouvelle droite. Encore un effort et voilà le point suivant, et encore une droite. Que pensez-vous de toute droite de sommet P intérieur à l’angle formé par les deux dernières droites tracées, par exemple à la bissectrice de cet angle ? CETTE DROITE partage bien notre nuage de points comme demandé.

Les autres questions ne sont guère plus difficiles.

Tout d’abord, cas extrême, tous les points peuvent être alignés. Nous avons alors une seule droite. Je vous laisse le soin de dessiner cette droite et ces points. Autre cas extrême : 3 points ne sont jamais alignés, et je vous fournis la preuve que ceci est possible en les construisant !

Je trace 2 points et LA droite qui les contient.
Je trace un 3ème point extérieur à cette droite et je trace les 2 nouvelles droites (j’ai tracé 1 + 2 = 3 droites) passant par ce nouveau point et chacun des « anciens » points.
Je trace un 4ème point extérieur aux droites tracées et je trace les 3 nouvelles droites (j’ai tracé 1 + 2 + 3 = 6 droites) passant par ce nouveau point et chacun des « anciens » points.
…
Je trace un nème point extérieur aux droites tracées et je trace les (n – 1) nouvelles droites (j’ai tracé 1 + 2 + 3 + … ( n- 1) droites ) passant par ce nouveau point et chacun des « anciens » points.

Je trace le dernier et billionième point extérieur aux droites tracées et je trace les 999 999 999 999 nouvelles droites (j’ai tracé 1 + 2 + 3 + … + 999 999 999 999 droites) passant par ce nouveau point et chacun des « anciens » points.

Il reste à calculer ce nombre « triangulaire », ce que nous avons fait de nombreuses fois dans notre revue. Cette somme vaut ( 1 000 000 000 000 x 999 999 999 999) / 2 = 499 999 999 999 500 000 000 000.

Voilà le nombre maximum de droites que vous aurez à tracer.

Ce qui suit est un peu plus délicat (voir figure 2). rappelons que nous nous proposons de partager notre nuage d’un billion de points en 2 ou 3 ou 4 ou …plus encore de sous nuages de points distincts en fixant le nombre de points de chacun ; pour simplifier ici, disons de 1 000 000 de points chacun ( il y aura donc 1 000 000 petits nuages)

Tout d’abord, traçons toutes les droite joignant 2 points de notre billion de points (quelques droites tracées en noir).. Traçons une nouvelle droite AX (en rouge sur ce dessin) non parallèle à aucune de celles déjà tracées qui nous fournira la direction de projection. Choisissons une seconde droite AY, elle aussi non parallèle aux droites déjà tracées et nous projetterons parallèlement à AX chacun des points de notre nuage (droite proj1etantes tracées en pointillé) sur AY.

Nous avons donc maintenant sur AY un billion de points qui sont les projetés des points initiaux et le travail est presque terminé. Vous avez pour ce billion de points deux points extrêmes. Choisissez l’un d’entre eux (je l’appelle E1) et comptez votre premier million de points, puis marquez avant que d’atteindre le point suivant sur AY un point E2 et tracez la parallèle à AX passant par E2 ; Vous avez isolé votre premier million de points. Puis vous compterez de nouveau pour atteindre E3, …  Et voilà, nous avons répondu à la question !