Bizarre? Non!

Le nombre b vaut 666 666 666 et c’est bien un multiple de 6 dont vous calculerez facilement le sixième : 111 111 111. Le nombre c vaut 555 555 555 et c’est bien un multiple de 5 dont vous calculerez facilement le cinquième : 111 111 111. b – c vaut 111 111 111 puisque 54 = 6 x 9 et que 45 = 5 x 9.

Mon sac de billes.

Une égalité, c’est toujours une balance à deux  plateaux qui sont en équilibre, même s’il s’agit comme dans ce texte, de la valeur du contenu de ces plateaux, et non pas de leur masse. Otez un sac de billes de chaque plateau. Il reste, balance toujours en équilibre, un demi sac qui équilibre 3 euros. Un sac a donc une valeur de 6 euros.

Octets

Petit exercice de dénombrement ; nous avons pour le premier bit, 2 choix, indépendamment pour un second bit 2 choix, pour un 3ème, 3 choix, … Vous avez donc : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256 choix (nombre qui s’écrit 28 et qui se lit 2 puissance 8).

Un grand jour, le 285ème (de l’année 2005).

Donc 285 a été débité en nombres de 1 chiffre dont la somme est 15. Voici les 18 nombres (écrits du plus petit au plus grand) qui permettent d’avoir cette somme :

69 78 87 96

159 168 177 186 195

249 258 267 276 285 294

339 348 357

Mon petit frère a cassé son biberon.

Nous avons un peu forcé la note avec « le petit frère » et le bébé, et le biberon,… Certes, il fallait trouver des diviseurs de 1 000 000 et nous vous avons dit que ce grand nombre avait 49 diviseurs que nous vous donnons ce jour :

Seuls les 8 premiers peuvent remplacer une lettre (nous avons 26 lettres) et le plus grand nombre est donc 25 (y).

Voici la correspondance entre lettre de l’alphabet et rang.

Il nous faut 8 lettres et je privilégie certes le « e », lettre de très loin la plus utilisée de la langue française (plus de 15% dans les textes littéraires) que je peux utiliser plusieurs fois; j’exclus certainement le y et le h (je ne suis pas anglais). Et je fais des essais pour obtenir rapidement la phrase demandée… « Bébé tête ». Drôle ? Simple ? Oui

Entracte littéraire : Il n’est pas simple d’écrire un texte en langue française sans utiliser le lettre « e ». Essayez donc. En 1969, Georges Perec a écrit, en langue française, un roman de 200 pages « La disparition » qui ne contenait aucun « e ». Nombreux sont les lecteurs qui ont terminé ce livre sans trouver ce qui avait disparu ! Mieux encore, le Britannique Gilbert Adair réussit à traduire ce livre en langue anglaise, en s’imposant la même obligation ! Si vous êtes intéressé par ces jeux de langage avec contraintes alors allez vite sur le site internet Fatrazie.

Mais si vous voulez comprendre pourquoi vous avez 49 diviseurs, et si vous êtes un peu curieux des mathématiques, alors regardez donc un peu ce tableau de 7 x 7 nombres et essayez de le reconstituer.

L’exercice E4 vous dit ce qu’est 2 puissance 8 qui s’écrit simplement 28. Faîtes le produit des 2 nombres en diagonale 1 et 1 000 000 et faites aussi le produit des 2 nombres situés aux extrémités de l’autre diagonale 64 et 15 325 ; Vous obtiendrez … Vous noterez que 64 = 26, que 15 625 = 56 et que 1 000 000 = 106 = 26 x 56. Tout diviseur de 1 000 000 ne peut s’écrire que 2a x5b avec a au plus égal à 6 et b au plus égal à 6. En n’oubliant pas que 20 = 30 = 50 = … = 1 (Toute puissance 0 d’un nombre non nul vaut 1 (0 lui-même ne pouvant être à la puissance 0)), vous aurez la simple explication du nombre de diviseurs de 1 000 000, les exposants a et b ne peuvent prendre que 7 valeurs chacun, soit 7 x 7 pour leur produit.

Quel est le nombre situé au centre de ce carré de nombres ? C’est 1 000 dont le carré est 1 000 000.

Choisissez un autre nombre, prenez son symétrique par rapport à 1 000 et faîtes leur produit, vous obtenez….… En est-il toujours ainsi ? Oui. Pourquoi ? Voilà une petite digression terminée avec ce corrigé. Pas trop difficile à digérer le biberon de bébé ?

Palindrome.

Simple ! 1er chiffre : 9 choix (car 0 est exclus) 2ème chiffre : 9 choix (car j’exclus le chiffre choisi précédemment, mais m’autorise le 0) 3ème chiffre : 8 choix (je peux écrire tout chiffre non encore écrit) 4ème chiffre : 7 choix Donc 9 x 9 x 8 x 7 = 4 536 palindromes de 7 chiffres .

Le pentagone de Cyril.

Les élèves de Cyril ont utilisé un rapporteur, mesuré les 5 angles de ce polygone croisé et ont fait la somme ! Et comme leurs résultats étaient très voisins, ils ont fait la moyenne de ces nombres. Oui, cette somme est bien 180°.

Bernard, élève de quatrième, nous propose une solution qu’il a découverte dans l’ancien manuel de 4ème de son père. Je vous donne sa « démonstration ».

Chacun des angles du pentagone coupe le cercle selon un arc. Deux arcs voisins ont une extrémité commune et la « réunion » des cinq arcs, c’est le cercle. L’angle au centre d’un cercle qui intercepte un arc AB vaut le double de tout angle dont le sommet est sur le cercle et qui intercepte le même arc AB.

Ici, chacun des 5 angles intercepte un arc. Au cercle complet correspond un angle au centre de 360° ; donc pour la somme des cinq angles interceptant ces arcs, la somme est la moitié de cet angle au centre, soit 180°

Bravo Bernard ; saurais-tu démontrer le petit théorème que tu utilises à propos des angles inscrits et angles au centre ? Ce n’est vraiment pas difficile. Marc nous fournit une démonstration plus délicate qui utilise les angles du petit pentagone dessiné à l’intérieur.

Philippe le rassembleur des diviseurs de 1 000 000.

Pas de grand discours ici puisqu’un corrigé que vous venez de lire donne ces 49 diviseurs. Le dixième nombre de cette suite est 32 et 200 apparaît bien en position 18 dans notre tableau.

La 2005ème décimale de 1/19.

Bof, bof, c’est si simple quand on dispose d’un beau bijou comme la machine à calcul de Romain (publicité gratuite).

Et les voici ces 2005 premières décimales :

0,052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 578 947 368 421 052 631 6

Vous avez donc la réponse. En êtes-vous certain ? Tout d’abord, il ne fallait certainement pas avoir besoin de cette grosse (et douce) artillerie pour si peu de choses ! Vous avez noté que la suite 052 631 578 947 368 421 se reproduit « infiniment » et que pour atteindre cette 2005ème décimale vous allez reproduire cette suite un grand nombre de fois. Combien de fois ?

Cette suite comporte 18 nombres. Divisons donc (en nombre entier) 2005 par 18. Le quotient (que nous n’utiliserons pas) est 111 et le reste est 7. La décimale cherchée est la 7ème de cette suite.

C’est bien un 5 quoique, quoique, quoique, la machine affiche 6 ; Etes-vous d’accord ? Pourquoi ? (Demandez à votre machine l’affichage des 2006 premières décimales et donnez nous alors sa 2005ème !)

Le quadrilatère de Martial.

La somme des angles du triangle ABC vaut 6 fois celle du plus petit ; celui-ci mesure donc 30°, le grand angle mesure 90° et l’autre 60° . C’est donc un triangle rectangle, « moitié » d’un triangle équilatéral. (de deux façons différentes !). Même chose pour ce second triangle. Notre quadrilatère est un rectangle formé à partir des deux «  moitiés » d’un triangle équilatéral. La bonne réponse est 134.

Dans mon collège.

Puisque 10% des élèves ne participent pas au concours c’est 90% qui le font ; ils sont 180. 1% de l’effectif correspond donc à 2 élèves et l’effectif complet est de 200 élèves.

Regards sur ma montre.

La réponse est : 12, 24 et 60. Pourquoi avoir divisé le demi jour en 12 heures? Parce que 12 est « riche » en diviseurs et vous pouvez donc prendre le 1/4 ou 1/3 ou 2/3 ou 1/6 ou 1/2 de la demi journée. Et de même pour la journée ou pour l’heure, vous avez de nombreuses possibilités d’en prendre une fraction.

Les civilisations anciennes utilisaient deux « bases » de numération : 12 et 60. Pourquoi ? Nous avons certainement répondu à cette question-là aussi. Connais-tu les bases de numération ? Nous te renvoyons vers le texte T30 : La numération Shadock. Ecris-nous si tu veux en savoir plus sur leur utilisation par exemple

Le triangle rectangle de Catherine.

Joli petit problème, élégant et raffiné. Puisque le triangle est rectangle et que ses petits côtés mesurent 6 cm et 8 cm, alors le grand côté (l’hypoténuse) mesure 10 cm et c’est bien ce que nous a appris Pythagore.

Le cercle circonscrit a pour diamètre cette hypoténuse et son rayon mesure donc 5 cm. Pour calculer le rayon de son cercle inscrit, je vais calculer de deux façons différentes l’aire de ce triangle. Il est bien entendu immédiat qu’elle est, en cm2) de (6 x 8)/2 = 24.

Appelons le centre de ce cercle inscrit et décomposons ce triangle ABC en trois triangles IAB, IAC et ICB. La hauteur commune issue de I est le rayon r du cercle inscrit. Calculons les trois aires et écrivons que leur somme est 24. (r x AB) / 2 + (r x AC) / 2 + ( r x BC) / 2 = 24
r x (AB + AC + CB) /2 = 24
(r x 24) / 2 = 24 soit r = 2.

Le triangle rectangle d’Emmanuel.

Autre petit bijou de ce concours. Certainement Catherine et Emmanuel aiment la géométrie. Ils ne sont pas les seuls.

Toujours en vertu de ce théorème de Pythagore, le 3ème côté mesure 3 cm. Appelons a, b et c les rayons de ces trois cercles tangents deux à deux. Nous avons alors les trois égalités

a + b = 5 (I)
a + c = 4 (II)
b + c = 3 (III)

(I) et (II) permettent par soustraction membre à membre d’écrire b – c = 1 (IV) (III) et (IV) permettent par addition d’écrire 2b = 4 Il vient b = 2, a =3, c= 1. La réponse est donc 1,2 et 3.